ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

- раздел алгебры, в к-ром изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.

Исторически первым разделом Л. а. была теория линейных уравнений (алгебраических). В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 было получено Крамера правило для решения системы линейных уравнений, в к-рой число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 был предложен Гаусса метод решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Этот метод является простейшим по числу применяемых операций и используется с различными изменениями также для приближенного решения систем уравнений, коэффициенты к-рых также известны приближенно.

В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом (G. Frobenius) в 1877, позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы (см. Кронекера - Капелли теорема). Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.

Если в 18 и 19 вв. основное содержание Л. а. составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение занимают понятие векторного пространства и связанные с ним понятия линейного преобразования, линейной, билинейной и полилинейной функции на векторном пространстве.

Векторным, или линейным, пространств о м над полем Кназ. множество Vэлементов (называемых векторами), в к-ром заданы операции сложения векторов и умножения вектора на элементы из поля К, удовлетворяющие ряду аксиом (см.Векторное пространство). Рассматриваются также векторные пространства над телами. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств является понятие линейного отображения, т. е. гомоморфизма векторных пространств над одним н тем же полем. Линейным оператором, или линейным преобразованием, наз. линейное отображение пространства в себя (т. е. эндоморфизм векторного пространства). Если пространство Vконечномерно, то, выбирая в Vбазис e₁, e₂, . .., е _п и полагая

получают квадратную матрицу порядка п, к-рая наз. матрицей линейного преобразования j в данном базисе.

Векторное пространство Vнад полем К, снабженное дополнительной операцией умножения векторов, удовлетворяющей нек-рым аксиомам, наз. алгеброй над К(см. Кольца и алгебры, Операторное кольцо).

Все линейные преобразования пространства Vотносительно естественно определенных операций сложения, умножения и умножения линейных преобразований на элементы поля Кобразуют алгебру над полем К. Все квадратные матрицы фиксированного порядка с элементами из поля Ктакже образуют алгебру над К. Указанное выше соответствие между линейными преобразованиями пространства Vи их матрицами в заданном базисе является изоморфизмом этих алгебр, что позволяет формулировать теоремы о линейных преобразованиях параллельно на матричном языке и при их доказательстве использовать теорию матриц.

Большое значение в теории линейных преобразований имеет выбор базиса, в к-ром матрица преобразования принимает в каком-то смысле простейший вид. В случае алгебраически замкнутого поля таким видом будет, напр., жорданова нормальная форма матрицы.

Важным случаем линейного отображения является линейная функция (линейный функционал) - линейное отображение Vв К. Все линейные функции на Vотносительно естественным образом определенных операций сложения и умножения на элементы из поля Ксами образуют векторное пространство V* над К, наз. пространством, сопряженным с пространством V. Векторы пространства Vможно в свою очередь рассматривать как линейные функции на сопряженном пространстве V*, полагая x(f) = f(x).для всех Если Т" конечномерно, то тем самым устанавливается естественный изоморфизм между Vи V**.

Обобщением понятия линейной функции является понятие полилинейной функции, т. е. функции со значениями в К, зависящей от нескольких аргументов (из к-рых одни принадлежат векторному пространству V, а другие - сопряженному пространству V*), линейной по каждому аргументу. Эти функции наз. также тензорами. Их изучением занимается полилинейная алгебра. Частный случай полилинейных функций - билинейные функции (см. Билинейное отображение). Кососимметрич. полилинейные функции наз. также внешними формами.

На основе понятия векторного пространства определяются различные классич. пространства, изучаемые в геометрии: аффинные пространства, проективные пространства и др.

Теория векторных пространств имеет важные связи с теорией групп. Все автоморфизмы n-мерного векторного пространства Vнад полем Кобразуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц порядка пс элементами из К. Гомоморфное отображение нек-рой группы Gв эту группу автоморфизмов наз. линейным представлением группы Gв пространстве V. Изучение свойств представлений составляет предмет теории линейных представлений групп.

Классич. теория линейных уравнений и определителей была обобщена на случай, когда вместо чисел или элементов поля рассматриваются элементы произвольного тела.

Естественным обобщением понятия векторного пространства над полем Кявляется понятие модуля над произвольным кольцом. Основные теоремы Л. а. перестают быть верными при замене векторного пространства на модуль. Изучение возможностей таких обобщений, к-рые справедливы и для модулей, привело к возникновению алгебраической К-теории.

Лит.:[1] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [3] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [4] М а л ь ц е в А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975; [5] Ефимов Н. В., Розендорн 9. Р.,. Линейная алгебра и многомерная геометрия, 2 изд., М., 1974; [6] Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, 2 изд., М., 1956; [7] Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [8] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [9] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [10] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955.

И. В. Проскуряков.